Un afortunado error y a la vez desafortunado
Dicen los expertos que los alumnos aprenden a pensar en los exámenes. En parte debe ser cierto, porque el nivel de estrés y la concentración que se exigen para superar las pruebas de evaluación obligan a calentar tremendamente las neuronas. Con la experiencia, los alumnos detectan cuando sus cerebros empiezan a colapsar. En este caso, una alternativa que se toma para salir de apuros es la de responder ambiguamente a las cuestiones comprometidas de modo que quede margen suficiente para una interpretación benevolente del profesor. Con las neuronas gripadas y humeantes, lo ideal es recurrir a la picaresca y echarle un ojo a la respuesta del vecino, o también a la que uno trae precocinada de casa.
En matemáticas el arte de responder con ambigüedad tiene poco éxito. En cambio, las pruebas de matemáticas gozan de una ventaja: es posible saber si la respuesta que se ha dado es correcta simplemente comprobando el resultado. Por ejemplo, si uno resuelve una ecuación, la conclusión debe satisfacer las premisas del planteamiento y eso se verifica con facilidad.
Pues resulta que hace dos días un alumno completó un ejercicio de matemáticas y comprobó que su resultado era válido. En cambio, el ejercicio estaba mal resuelto. ¿Cómo es esto posible?
Se trataba de un examen de Matemáticas II (matemáticas de 2º de Bachillerato de ciencias), sobre el tema de resolución de sistemas de ecuaciones y el método de Gauss usando matrices. Dejo aquí el ejercicio para explicar lo que sucedió.
Era el ejercicio nº4 del examen y decía así:
Clasifica y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss:
Se trata de un ejercicio sencillo para el nivel de exigencia de 2º de bachillerato. Pondré su resolución por pasos:
1º. Expreso el sistema en forma de matriz:
2º. Simplifico la primera fila dividiéndola entre 2:
3º. Cambio la fila segunda restándole dos veces la fila primera:
4º. Cambio la fila tercera restándole tres veces la fila primera:
5º. Cambio la tercera fila restándole la segunda:
Como se aprecia, la tercera fila se ha anulado, y esto significa que el sistema es compatible indeterminado, es decir, que tiene infinitas soluciones que dependerán de un parámetro. Si se toma la variable “z” como parámetro (z=α), se obtiene que:
Y esto es lo que habría que contestar.
Sorprendentemente, un chico me dice que la solución es única y que ya la ha comprobado, por lo que tiene que ser correcta. La solución a la que llega es: x=0; y=-4; z=10.
Y se comprueba que es cierto, la solución funciona:
Entonces, ¿qué ha pasado? ¿Le va bien o le va mal el ejercicio?
Teniendo en cuenta que realmente hay infinitas soluciones, la que el alumno aporta es una de ellas; más concretamente, la que corresponde al valor α=10 del parámetro. Pero, ¿Cómo ha llegado a esta solución particular?
Aquí expongo el procedimiento llevado a cabo por el alumno:
1º. Parte del enunciado y escribe la matriz asociada al sistema de forma correcta:
2º. Simplifica la primera fila dividiéndola entre 2.
3º. Cambia la fila segunda restándole la fila primera multiplicada por 2. Comete dos errores: en lugar de escribir un -3 en el segundo elemento, pone -2; luego, le asigna mal el signo al 8 (pues debería ser negativo, viene de hacer 4 – 2·6 = -8). Resalto los errores en color rojo.
4º. Cambia la fila tercera restándole tres veces la fila primera. Aquí no falla:
5º. Multiplica la fila segunda por -3 y la fila tercera por 2:
6º. Sustituye la fila tercera por la suma de ella misma con la fila segunda:
7º. De aquí, nuestro afortunado alumno deduce que:
Que, como ya he dicho anteriormente, es una solución coherente con el enunciado del problema.
Pues bien, este anecdótico asunto surgió en medio de un examen rutinario, en una revisión sobre la marcha de lo que estaban escribiendo mis alumnos. Observé dos casos cuyas soluciones diferían y les pedí que los revisasen. Me imaginé al alumno suertudo saliendo del examen de Selectividad satisfecho porque las cuentas cuadraban, pero llevándose una decepción unos días después al llegar la nota devaluada respecto de lo que esperaba. ¡Qué mala suerte!
Pero ¡tremenda coincidencia!
El caso es que la doble equivocación que le llevó a un resultado válido -pero incorrecto-, fue una casualidad monumental. La probabilidad de que esto suceda de forma espontánea es de un caso en millones. Creo que es más probable que te toque la lotería a que obtengas una solución de este tipo. Nunca he visto una resolución de chiripa tan rocambolesca.
