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Calcular la distancia al Sol

No sé si alguna vez os ha pasado que habéis escuchado a alguien poner en duda un descubrimiento científico. Lo típico, que sale una noticia en el telediario sobre un fenómeno que ha sucedido a no sé cuantos millones de kilómetros y que sale el "cuñado" de turno diciendo que eso es mentira, que dan la información sin pruebas, que nadie ha llegado hasta allí para saberlo. Y te quedas perplejo del mismo modo que al oír los argumentos de un terraplanista (parece mentira que en pleno siglo XXI los haya), que duda de la esfericidad de la Tierra. Me imagino a los pioneros del mundo clásico indagando por primera vez en estas cuestiones, ocultándose de los incrédulos que trataban de llevarlos a la hoguera por ofender a los dioses y por perder el tiempo en cuestiones vanas.

Ya va para 2250 años que el griego Eratóstenes demostró que la Tierra era redonda y calculó su longitud de forma bastante precisa: 250.000 estadios! Para lograr este hito cruzó Egipto con una vara. En Siena (no la ciudad italiana, sino la actual Asuán de Egipto), el día 21 de junio a mediodía un palo vertical no dejaba sombra y se podía ver el Sol en el fondo de un pozo. Mientras tanto, en Alejandría el palo producía 7,2º de sombra el mismo día a la misma hora. No, Eratóstenes no usó la vara como cayado. No era para apoyarse al caminar... era para tomar medidas. En la siguiente infografía se muestran las magnitudes necesarias y relaciones para calcular la longitud de un meridiano. Es tan sencillo como hacer la proporción 7,2º/360º=5000/x → x, que es la longitud del meridiano.

Un estadio de la época equivalía a unos 185 metros actuales. Así que le salió, en unidades modernas, un perímetro terrestre de 46.000 km, valor no muy lejano al correcto: 40.008 si viajamos de norte a sur siguiendo un meridiano (como hizo él) y 40.075 km dando la vuelta por el ecuador.

A Eratóstenes se le conoce también por un método para identificar los números primos. La criba homónima se estudia en secundaria y también sirve para evaluar la rapidez de los ordenadores. Por si fuera poco, este individuo dibujó el primer mapamundi con divisiones climáticas, paralelos y meridianos. También le debemos la existencia de los años bisiestos ya que, con una increíble precisión, descubrió que la Tierra ocupaba el mismo lugar del firmamento después de circular durante 365 días y 6 horas. Son esas 6 horas extra las que se juntan para hacer un día completo al cabo de 4 años.

Eratóstenes hizo suyo el lema olímpico "citius, altius, fortius". No contento con lo que había conseguido se propuso calcular la distancia a la Luna y al Sol. Y aquí ya tuvo más problemas: No disponía de aparatos de suficiente precisión (la vara no valía). La humanidad tuvo que esperar 1800 años más.

Otros filósofos se preocuparon de estos asuntos a partir del siglo III AC. Aristarco, por ejemplo, indagó en este asunto de las distancias planetarias. Respondió con bastante habilidad pero escaso acierto. Según sus cálculos basados en eclipses, la Luna estaba a 43 diámetros terrestres de distancia (resultado erróneo ya que solo está a 30, pero acertó en el orden de magnitud). Basándose en las sombras del cuarto creciente, estimó la distancia al Sol como 20 veces superior a la que nos separa de la Luna, y volvió a fallar. El Sol está 400 veces más lejos de la Tierra que nuestro pálido satélite.

Un sucesor suyo, Hiparco, el inventor de la trigonometría y de las divisiones geográficas de la Tierra, fue el que acertó la distancia a la Luna: 60 radios terrestres. Pero le salió mal la estimación de la distancia al Sol.

El dilema de la lejanía del Sol se retomó en el siglo XVII. En esta época se dieron importantes avances en astronomía, sobre todo con la invención del telescopio y el aumento de precisión en las tablas de efemérides (las tablas rudolfinas de Kepler). Célebres astrónomos como Okam, Kepler, Copérnico o Galileo, pusieron en entredicho el sistema de los orbes geocéntricos de Ptolomeo y cambiaron la concepción del Universo al situar en su centro al Sol en lugar de la Tierra. Sin embargo una teoría sin confirmar no tiene valor. Había que encontrar un experimento que diera consistencia definitiva a la nueva física que estaba surgiendo de la mano de Newton (y también de su cerebro).

En el siglo XVIII las potencias europeas, inmersas en su ancestral vanidad y beligerancia, vivían en continuo  enfrentamiento. La fiebre colonizadora y el imperialismo les indujo a acaparar tierras, explotar dominios y controlar continentes y océanos (dominar los cielos quedó ya para siglos posteriores). Se retaban a ver quién era el más fuerte, el más valiente y el más sagaz. Y, mientras unos buscaban la victoria en el arte bélico otros perseguían el prestigio de ser los primeros en hallar la distancia al Sol. Por este motivo, en 1761 se llevó a cabo el primer experimento global: la observación del tránsito de Venus ante el disco solar. Este fenómeno es más adecuado que el tránsito de Mercurio para calcular la distancia al Sol porque tiene más amplitud... pero sucede en contadas ocasiones (se repite con una secuencia de 8 - 121,5 - 8 - 105,5 años y, como el más reciente fue en 2012, el siguiente será en 2117).

En el siguiente vídeo se puede ver el tránsito de Mercurio del fecha 2019/11/11. Si lo estás viendo en una pantalla pequeña -como la de un teléfono-, no percibirás. Tendrás que ampliar notablemente la imagen para ver el punto negro que corre de izquierda a derecha

Las autoridades intelectuales de la época diseñaron un plan que sumaba tecnología y altas dosis de aventura. Destacados astrónomos como Edmund Halley y Joseph-Nicolas Delisle habían diseñado la estrategia para una adecuada observación y el ilustre Guillaume Joseph Hyacinthe Jean-Baptiste Le Gentil de la Galaisière indicó los lugares adónde debían acudir los expedicionarios basándose en Halley. La competición se debatía entre Inglaterra y Francia. España se hizo eco del reto pero se rezagó hacia el pelotón de cola. En total hubo unos 120 observadores repartidos en más de 60 lugares diferentes y muchos de ellos no abandonaron su territorio nacional. Este fue el caso de los españoles que lo observaron desde Madrid y Cádiz, y los suecos, desde Estocolmo y Upsala.

Aquí tenéis una tabla donde podéis comprobar los resultados que se fueron obteniendo desde aquella época hasta la actualidad sobre la distancia al Sol:

Halley ya había fallecido cuando ocurrieron los dos tránsitos de Venus de 1761 y 1769. Francia llevaba la delantera y entre los científicos franceses crecía el interés por estudiar el fenómeno desde diferentes latitudes. Pero el ímpetu de Inglaterra no era menor.



El tránsito de Mercurio de 1753 les sirvió a todos como ensayo para preparar los instrumentos y perfeccionar los cálculos antes de iniciar las expediciones.

Francia envió a Alexandre-Gui Pingré a la isla de Rodrigues en el océano Índico, al abad astrónomo Jean-Baptiste Chappe d’Auteroche a Tobolsk (ciudad emblemática de Siberia), a César-François Cassini a Viena, mientras Joseph Jérôme Lefrançois de Lalande se quedó cómodamente en París y Le Gentil, tras conseguir sus propios fondos, se dirigió por su cuenta a Pondichéry, en la costa oriental de la India.

Los ingleses no se animaron hasta ver el mapa de emplazamientos de Le Gentil de 1760 y no pudieron hacer grandes preparativos, incluso tuvieron dificultades en conseguir el dinero necesario para comprar telescopios. Básicamente enviaron al astrónomo y reverendo Nevil Maskeline a la isla de Santa Elena y al astrónomo Charles Mason y su ayudante Jeremiah Dixon a Bengkulu a Sumatra donde se esperaba que la duración del tránsito fuera máxima.

En España fue observado por el padre Christian Rieger desde el observatorio del Colegio Imperial de Madrid y por los matemáticos Gerardo Henay y Vicente Tofiño desde el observatorio de Cádiz.

La empresa fue nefasta para casi todos los expedicionarios. Unos sufrieron los avatares de la guerra y sus barcos fueron apresados o hundidos, como en el caso de Maxon y Dixon. No cejaron en su empeño y consiguieron ser los únicos británicos en observar el tránsito desde tierras de Sumatra ya que su compatriota Maskeline solo vio nubes sobre el cielo de Santa Elena.  

Los franceses no corrieron mejor fortuna. A Pingré (que se dirigía por barco hacia la India), lo persiguieron navíos ingleses pero, al final, consiguió llegar a su destino. Después de trabajar contrarreloj para montar su observatorio el día del tránsito se puso a llover. Durante un claro visualizó parte del fenómeno y se dio por complacido. Como tenía que calcular también la latitud de su posición se quedó unos días más. Entretanto, llegó un furibundo barco inglés que apresó a todos los franceses de la isla de Rodrigues y luego la asoló. Al cabo de dos años de su partida y tras numerosas vicisitudes, Pingré llegó a París sin poder aportar ni un solo dato. Como Pingré, los demás astrónomos aventureros que vieron Venus pasando por delante del Sol en 1761 tampoco aportaron datos concluyentes, bien por la escasa precisión de los telescopios o bien por el amplio margen de error en el cálculo de la latitud en la que se hallaban.

El siguiente tránsito de Venus ocurriría 8 años después (3 de junio de 1769), y suscitó aún mayor interés.  Fue observado en mejores condiciones y con mayor experiencia, sobre todo por parte de los ingleses.

El equipo francés tuvo muy poca fortuna. Chappe, que se hizo acompañar de astrónomos navales españoles para llegar a California, enfermó gravemente por culpa de una epidemia febril y él y sus acompañantes fallecieron. Aunque más notable es la historia de Le Gentil y su ajetreado periplo (del que dejó constancia en un libro). En marzo de 1760 este hombre se embarcó en una expedición a la colonia francesa de Pondichery en la India para observar el tránsito que sucedería al año siguiente. Las hostilidades de los ingleses impidieron que el barco atracase y se perdió el evento. Como no lo pudo ver decidió esperar 8 años hasta el siguiente tránsito. Transcurrido el tiempo viajó hacia Manila en 1766 en un velero español pero tuvo que desistir y regresar a Pondichery por culpa de una acusación de espionaje. Tras una espera de tres años, llegado el día, no pudo realizar ninguna observación por estar nublado y cayó en depresión. Al año siguiente, de regreso a Francia, volvió a enfermar mientras permanecía en la isla Mauricio. Se recuperó al cabo 8 meses. Al partir de allí, una tempestad obligó a su barco a refugiarse en la isla Reunión donde estuvo un año más. Por fortuna otro barco español lo recogió y lo llevó a Cádiz desde donde viajó por tierra hasta París. Llegó después de 11 años... y en su casa le habían dado por muerto. Su esposa se había casado de nuevo, sus hijos se habían repartido su herencia y otra persona había ocupado su trabajo... Y no tenía ningún dato astronómico. Afortunadamente rehizo su vida por gracia del Rey Luis XV (que le restituyó su puesto), y por gracia de una joven y rica heredera.

Actualmente disfrutamos de los avances que aquellos aguerridos científicos forjaron con gran empeño y sacrificio. No está de más recordarlo y creo  que es de justicia hacerlo.



Por último os dejo los cálculos que llevaron a aquellos investigadores tan lejos. Los hemos repensado de nuevo para calcular nuestra propia distancia al Sol observando el tránsito de Mercurio del día 11, solo que ahora con tecnología del siglo XXI y sin riesgo alguno.


Empezamos considerando un esquema de lo que pasa durante un tránsito planetario.

En este caso hemos puesto como ejemplo el último tránsito de Mercurio que, como ya dijimos, aconteció el pasado día 11 de noviembre. En la imagen se observa como el planeta enano apenas representa un minúsculo punto negro sobre la cara del Sol. Esta marca se ve diferente a distintas latitudes: cuanto más al norte en la Tierra la imagen aparece más abajo sobre el Sol. A este efecto se le conoce como paralaje. Hoy en día disponemos de telescopios que sacan fotos y también de herramientas informáticas para tomar medidas sobre ellas. Antiguamente esto no era así y tenían que valerse del dibujo y de las matemáticas para extraer conclusiones.

En la siguiente imagen se muestran al Sol y a los planetas Mercurio y la Tierra colocados en línea (conjunción).
 

Desde dos latitudes diferentes en la Tierra se puede observar la imagen de Mercurio sobre la esfera solar con una pequeña diferencia angular que llamamos beta. Esto se debe al paralaje y es el ángulo que mediremos al comparar dos fotografías superpuestas sacadas desde dos latitudes diferentes a la misma hora. Haciendo trigonometría vemos que Mercurio es el vértice agudo de dos triángulos semejantes con ángulo común alfa. "Rt" es el radio orbital de la Tierra, "Rm" el radio orbital de Mercurio, "d" es la proyección vertical de las latitudes terrestres y "s" la separación virtual de las dos imágenes sobre el Sol. Analizando la imagen se pueden establecer las siguientes relaciones siguiendo las directrices del teorema de Tales:

Reordenando las variables se establece la siguiente relación:

Por último, reemplazamos la distancia inservible "s" por dos variables más convenientes: "β" (el ángulo de desviación aparente) y Rt (el radio de la órbita terrestre).

El paralaje está originado por la separación en latitud de los observadores. Expresamos esta proyección perpendicular en función del ángulo de latitud de cada observador "λ". Esta distancia "d" que separa verticalmente a los dos observadores se obtiene de multiplicar el radio de la Tierra por la diferencia de los senos de las latitudes. Para este cálculo hay que tener en cuenta que las latitudes al norte del ecuador son positivas y las del sur son negativas.

Así se obtiene la siguiente expresión para Rt (recordemos que es distancia que separa la Tierra del Sol) en función de la latitud de los observadores:

En la última fórmula se aprecia que la distancia al Sol (Rt) depende del cociente entre los radios orbitales de Mercurio y de la Tierra. Afortunadamente este cociente se puede calcular a partir de la observación de efemérides. En concreto se obtiene de la elongación (máxima separación angular a la que vemos Mercurio del Sol). En la imagen inferior se explica la relación trigonométrica que da el cociente entre los radios orbitales.

Si la elongación vale 23º por término medio (varía ±5º por la elipticidad de la órbita), podemos concluir que:

Y así obtendremos el radio de la órbita de la Tierra (y, por tanto, la distancia Tierra-Sol). Lo hemos calculado a partir de datos empíricos, superponiendo dos imágenes del tránsito tomadas desde las ciudades de Bamberg (Alemania) y Rosario (Argentina). Hemos visto las sombras de Mercurio con una separación de 6 píxeles sobre un diámetro solar de 1570 píxeles. Esto da un ángulo de paralaje de 7,4" de arco.

De las latitudes de ambas ciudades sacamos que la separación entre sus paralelos es de 8334 kilómetros (d = 8334km). Al incorporar todos los datos en la fórmula de la distancia vemos que sale un valor extraordinariamente cercano al valor real pero, no nos engañemos, con un margen de error muy grande.

Hemos probado con otro par de imagenes, esta vez sacadas en las ciudades de Gighorn (Alemania) y Rosario (Argentina). Las cuentas siguen manifestando un error bastante grande. Esto es debido a la imprecisión de estimar la separación angular de las proyecciones de Mercurio sobre el disco solar. No es de extrañar que los astrónomos prefieran hacer este cálculo con Venus que, al estar más cerca de la Tierra, deja unha huella paraláctica más fácil de distinguir.

Concluiré este artículo escribiendo sobre el paralaje solar absoluto. Esta cantidad expresa el ángulo que aparenta moverse el Sol al pasar un observador desde el polo norte de la Tierra hasta el ecuador. Se expresa como el cociente estre el radio terrestre y el radio de la órbita de la Tierra. Su valor es casi constante (8,8" de arco) y nos sirve, en este caso, para valorar lo acertados que estamos en nuestras cuentas:

Para el primer caso obtenemos que el paralaje solar absoluto es de 8,77" (muy cerca del valor correcto). Para el segundo caso nos ha salido peor: 9,4".

Por último, hemos revisado la veracidad de la tercera ley de Kepler, aquella que dice que el período orbital de un planeta al cuadrado es proporcional a su radio orbital al cubo. Como sabemos que el período de la Tierra es 365,25 días y el de Mercurio 88 días, el cálculo da un resultado para el cociente Rt/Rm=2,58 (muy similar al que habíamos obtenido geométricamente, con un valor de 2,55 veces mayor la órbita de la Tierra que la de Mercurio). Concuerdan muy bien.

Espero que el esfuerzo que realizaron nuestros antepasados por conocer y dar a conocer el mundo en que vivimos no degenere en desidia. Ellos pusieron su vida al servicio de la humanidad y renunciaron a muchas comodidades. A ver que hacemos nosotros y los que nos suceden!